摘要：向量融数和形于一体，具有代数和几何的双重身份，是求解代数和几何问题的新工具。在高中数学教学中应重视和应用好这一有力的工具，以拓展学生的想象力，激发他们创新活力，提高他们分析和解决问题的能力，同时也为学生开辟了广阔的思维空间、提供了更多的创新机遇

关键词：向量，抽象，数形结合，新旧思维，应用意识

向量是中等职业和普通高中数学的必学内容，向量概念和思想方法的引入，不仅增大了高中数学知识的容量，而且由于立足于向量这一新的视角，进一步拓宽了思维的渠道。作为教师不仅要教学生学习向量这一新内容，而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质，修整原有的认知，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识。使向量的教学过程成为学生发展创新意识与创新能力的极佳契机。

在向量这一章的教学中，学生会觉得内容比较抽象，就拿向量的概念来说就觉得不太好把握，究其原因，是因为向量是既有大小又有方向的量，与以往所学的数量、长度大不相同，向量的形式运算是多次抽象的结果，如果学习的方法不当，就会产生枯燥无味的感觉。这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，这也正是了向量的优越性所在。在教学中如果恰当抓住“图形”的特点，使得向量的教学不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机。

向量的概念是从物理中位移和力的概念抽象出来，而成为平面内的自由向量，虽然是抽象的形式符号，依然可以以位移和力作为背景图象，结合同学们的生活实际来理解向量的概念，从而做到从一般的生活实际到数学概念的抽象过，在引入向量的概念我就这样安排教学,向学生提问：“有个人在某地方向东走10千米与向西10千米效果一样吗？”虽然两次行走的数量是相等的，但很明显由于方向的不同结果也就完全不一样，自然而然就可以引入向量的概念（自然界中有些量不但在大小有区别而且还要考虑方向上的区别）。因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性。在概念法则引入时，如果回避知识的产生过程，生搬概念从而迅速进入解题阶段，忽略对问题的感悟进而导致对问题的一知半解。例如在向量的加法教学中，如果一上来就按照课本给出加法的三角形法则给学生做练习，就会造成学生的生搬硬套。我的经验是直接提出问题：“一个物体受到向右10牛顿力同时又受到向左10牛顿力，请问该物体受到合力是多少？”根据同学们的生活经验很容易得到物体所受的合力为0牛顿而不是10+10=20牛顿，再进而在向量概念的基础上引导学生：向量的加法不同于数量加法，它有自己本身特有的法则，接下来学生自然而会思考:向量的加法法则是什么样的呢？在问题和疑问的引导下使同学们产生一种新鲜感与一股探求知的欲望，从而进入一种紧张的思维状态，在大脑中积极主动的搜寻能抽象出两个向量加法的实际背景。利用“力”这日常生活常见的物理量学生不仅能正确的表述出怎样求两向量的和，而且发现这物理和数学的一致性。在这样一种学习的氛围中，教师所要做的并没有多少，语言也寥寥无几，教师看起来似乎漫不经心，很轻松，但就是在这样的情景下学生之间已形成了思维共振，在“随意”中实现了知识的有效迁移。

其实在平常的教学中,教学生学习一些的新的内容新的方法时，如果你告诉学生怎么做，尚不如告诉他为什么这样做，更不如引导他怎样去想。适时地提出问题：从这个定义中能得到什么信息从而更好的理解这个公式呢？引导学生站在哲学的高度，运用联系的观点，一般与特殊的处理方法去探索发现，结果同学们不仅“发现”了书上的所有性质，而且还得到了等结论，加深了对抽象内容的理解。从而使学生不仅在探索中证明了诸多性质，更重要的是让学生感悟到了应该如何去发现。

向量的运算法则以及运算律的给出容易使学生产生向量是属于代数内容，但向量实际上又是属于几何的范畴的，虽然有时也会脱离图形而进行形式运算，但所研究的内容大都与图形有关，所以向量是数形结合的一个典范。学好向量这一章的内容，能进一步促进学生对代数几何关系的理解，运用代数几何化，几何代数化的方法从多角度思维，对于培养学生正确的数学观有着重要的作用。许多平面几何定理如果利用向量来证明的显得既简单又好懂，比如：在证明三角函数中余弦的差角公式和余弦定理时，课本上用了大量的篇幅来证明，结果是老师证得费力，学生听得吃力。如果用向量来证明：

证：如图:在直角坐标系的单位圆中

设∠BOA =β ∠COA=α ∠BOC=α－β

| |=1，| |=1

又 的坐标(cosα,sinα) 的坐标 (cosβ,sinβ)

· =| || |cos< , >= cos(α－β)

有 · =(  cosα,sinα)(  cosβ,sinβ)

=cosαcosβ+sinαsinβ

所以 cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ

   2.利向量证明余弦定理

如图：在△ABC中 AB, BC,CA的长分别为c,a,b.

∵ = +

∴ · =（ + ）（ + ）  

= （ ）² + 2| || |cos(180°－Ｃ)＋( )²

 ∴c²=a² + b²－2abcosC

这两定理的证明，如果用平面几何和解析几何的知识进行证明过程复杂，学生理解困难，但利用向量本身所具有代数和几何的两重特征，都只是利用了一次向量的内积公式，就轻易地证明了这两个定理，显示了向量在解决数形结合方面的优越性。因此教师在平时的教学时应有意识的引导学生从数形结合的角度进行思考，避免单一的思维渠道，拓展学生的思维能力和创新能力，给学生解决和思考一些数学问题，插上一对有力的肢膀。

    向量运算是建立在新的运算法则上，向量的运算与实数的运算不尽相同，在教学中要注意新旧知识之间的矛盾冲突，及时让学生加以辨别、总结，利于正确理解向量的实质。例如向量的加法与向量模的加法的区别，向量的数量积与实数积的区别，在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区别。比如数量积的运算律这一节可以这样安排，作为一种乘法运算，可以和实数的乘法运算做比较，让学生回忆实数乘法的运算律有哪些，在向量的乘法运算中运算律是否也成立？由于旧的知识思维定势的作用下，大多同学不置可否的认为当然成立，个别同学却认为不一定，并且根据逻辑推理判定等号两边的向量不一定共线，从而由少数群体最终战胜了多数群体，靠的是理性而不是想当然的的猜测。整堂课都是在一种浓郁的研究氛围中进行的，真正做到了使学生从幕后走到舞台前，在动态思维的过程中成为学习的主体。

  向量融数和形于一体，具有代数和几何的双重身份，是求解代数和几何问题的新工具。在平时的学习中要注重培养应用向量的意识，有利于拓展学生的想象力，激发创新活力，而且有利于提高分析和解决问题的能力，更有利于学生思维的发展。由于向量的模就是线段的长度，因此用向量可以解决很多的几何问题，有时会起到意想不到的神奇效果，充分体现了向量解决问题的优越性。例如利用向量的模可以推导出两点之间的距离公式，两直线平行或垂直的证明可以转化为向量的共线及数量积为零。

例题：利用向量来证明圆周角定理

1、证明直径所对的圆周角是直角

如图所示，已知⊙O，AB为直径，C

为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°

 

分析：要证∠ACB=90°，只须证向量

⊥ ，即 · = 0

解：设  =   =

由此可得： = ＋ = －

· ＝( ＋ )( － )=| |²－ | |²

=r²－r²= 0

所以∠ACB=90°

向量在平面几何，函数，三角等方面都有广泛的应用，所以在教学中应把向量与其他知识内容进行整合,使向量成为学习数学思考解决数学问题一种重要的工具。向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发所有学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。但是一开始学生并不能很快进入状态，在教学中不应操之过急,要注意控制难度以及逐步渗透，经过师生不断实验和研究，最终使向量成为学生学习数学一个有力的工具。