陕西延长七里村油矿子弟学校     罗耀鋆

 

 

摘要：从解应用题思路出发，将“建模”思维贯穿于审题、解题、检验之中。

关键词：“建模”思维，应用题、审题、解题、检验

数学建模是解决各种实际问题的一种数学的思考方法，对一个真实、具体的问题建立数学模型是一项很复杂的工作。即使实际问题达到了某种简化层次作为一建模问题，这种数学建模与平时所说的应用题也并不等同，因为很多应用题的条件仅仅是一种数学假设，不可能是实际问题的简化假设。但是作为均以解决实际问题为目的两者之间必存在共通的地方，有着不少的联系。因此，基于对数学建模题思维的一定理解，将有关内容置于应用题的解法之中，以供参考。

应用题的一个明显特征就是，文字叙述多、科技术语多，相关制约因素多。所以，审清题意，审清各种数量关系是解应用题的关键环节。在数学建模中，首先会考虑去进行“问题的重述与分析”，要求对问题有一定的理解及认识之后的简化重述，突出精要。在此不妨从这种角度出发，突破审题。

捕捉重要信息，力图深刻理解，以至“问题重述”

在做到“问题重述”之前，必须搞清这样四方面的问题：题目讲述的是什么？要你做些什么？给了你一些什么数据？告诉你什么条件？抓住这四方面，便能准确地找到题目中所要传达的重要信息。这是审题的一个重要突破点。

例1 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼市场价格为x元/千克，政府补贴为1元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量q近似满足的关系：

p=1000 (x+t－8)(x≥8,t≥0)

q=50040－（x-8）2(8≤x≤14),当p=q时的市场价格称为市场平衡价格。

（1）  将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

（2）  为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

本题讲述了淡水鱼养殖的政府补贴与市场平衡价的关系问题。已知数据：政府补贴t元/千克；市场价格x元/千克；市场日供应量p千克，日需求量q千克。已知条件：当8≤x≤14时p与q近似的满足关系如原题：p=q时的x为市场平衡价。要求的是：（1）市场平衡价表示为t的函数，t的范围。（2）当市场平衡价小于等于10元/千克的t的最小值。

例2某河上有抛物线型拱桥，当水面距桥顶5m时，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，载货后，木船露在水面上的部分高3/4m。问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通过？

本题讲述的是木船过拱桥的最佳问题，已知数据有：水面距桥顶5m，水面宽8m，木船宽4m，高2m，载货后，船高出水面3/4m，已知条件为拱桥是一抛物线型。问木船通过拱桥时水面距桥顶的最小值。

通过以上二道例题，不难发现回答四个问题时，并不是原题照抄，而是对原题相对应的部分适当理解之后，更通俗地表达出来。当然，由于应用题往往涉及到其他领域的名词术语，常令学生在理解题意时存在一定的难度。对此，一方面需要教师在平时的教学中经常介绍一些生产、生活常识，另一方面教会学生学会用自己的经验来类比或想象的理解，一些专业术语味较浓的词汇，或者题目中会给予一定的说明（如例2中的“市场平衡价格”就是p=q的x），或者没有说明，此时姑且将它看作一个数量或符号即可（如例1中的杂质质量分数，只当它是一个数量就行）。

到此为止，“问题重述”的前绪工作已经完成，只要对已有的四方面问题适当的加以总结，便可得到问题的简化重述。

解题是经过严密的审题之后将原题还原于最一般的解答题，并给予解答的过程。换句话说就是：“建立模型并求解”。运用实验、联想、猜想、逻辑推理等方法，发现数量关系后你所熟悉的纯数学问题并给予简捷合理的求解。

又如例1根据市场平衡价的定义，试着将p=q的关系式写出，正好就是x与t的关系表达式，变形后有x=f（t）的形式，（2）中则只是解不等式，x=f(t) ≤10

数学建模中考察的模型优良与否着重于考察它的推广性及现实意义，尤其是否能够返回原题解释各种情况下的结果。作为应用题，尽管它是以纯粹的某一数学问题为背景（它的模型比较单一），但是在实际问题中将其表现出来便不可避免地为这一纯粹的数学问题加上了现实情况的限制，所以计算到最后考察结果的现实意义是不可缺少的，它是解题者的“自我调节”。

无论是数学建模还是应用题都注意对学生数学能力、数学素质的培养。尽管二者不尽相同，但不乏可类比之处，所以适当地开展数模教学对解应用题能力的培养也是有一定的辅助功效。